Uluslararası spor kariyerine 2013 yılında başlayan sporcu, 10 Mayıs 2021 tarihinde dünya sıralamasında olimpik yay erkekler kategorisinde 2. sıraya ulaşmıştır. Tokyo 2020 Olimpiyatlarında Erkekler Bireysel Okçuluk kategorisinde İtalyan rakibi Mauro Nespoli'yi 6-4 yenerek Türk okçuluk tarihinin ilk Olimpiyat altın madalyasının sahibi olmuştur.
Babası, eski millî okçu Metin Gazoz, annesi İstanbul Okçuluk Kulübü başkanı Meral Gazoz'dur. Mete Gazoz okçuluğa 2010 yılında başladı. Yüzme, basketbol, resim ve piyano ile ilgilenerek okçuluk ile ilgili becerilerini geliştirdi. İlk ve lise öğrenimini İhlas Koleji'nde tamamladı.
Mete Gazoz, Cezayir'in Vahran kentinde düzenlenen 2022 Akdeniz Oyunları'nda bireysel kategori finalinde Federico Musolesi'ye 6-4 yenilerek gümüş madalyanın sahibi oldu.[19] Muhammed Abdullah Yıldırmış ve Samet Ak'la birlikte yer aldığı takım müsabakalarında, üçüncülük maçında İtalya'yı 5-4 yenerek bronz madalya kazandı.[20] Akdeniz Oyunları programına ilk kez alınan karma takım kategorisinde ise Yasemin Ecem Anagöz'le beraber mücadele etti. Gazoz-Anagöz ikisi, finalde İtalya'yı 5-3 yenerek altın madalyayı kazandı ve karma takım kategorisinin ilk Akdeniz Oyunları şampiyonu olarak kayda geçti.